벡터 공간
- 2014-01-01 (modified: 2025-10-02)
A vector space over a field is a non-empty set together with a binary operation call a vector addition and a binary function call a scalar multiplication that satisfy the axioms listed below. In this context, the elements of are commonly called vectors, and the elements of are called scalars.
Axioms
For every , and in , and and in , the following axioms must be satisfied:
- Associativity of vector addition: .
- Commutativity of vector addition: .
- Identity element of vector addition: There exists an element , called the zero vector for all .
- Inverse element of vector addition: There exists an element , called the additive inverse of , such that .
- Compatibility of scalar multiplication with field multiplication: (This axiom is not an associative property, since it refers to two different operations, scalar multiplication and field multiplication.)
- Identity element of scalar multiplication: , where denotes multiplicative identity in .
- Distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition:
- Distributivity of scalar multiplication with respect to field addition:
Abstract Vector Space
보통은 필드 에 대한 벡터 를 으로 정의하기 때문에(예: ) 에 속하는 모든 에 대하여, 각 를 구성하는 컴포넌트들은 항상 에 속한다. 하지만 위의 8개 공리에 의한 정의에 따르면 꼭 그럴 필요는 없다.
예:
- is the set of all countinous real-valued function defined on the interval [0, 1].
위 정의에서 에 속한 각 벡터는 함수이고 이 경우, 예를 들어 결합 법칙은 와 같이 성립한다. 다만 “벡터 를 구성하는 컴포넌트”라는 개념은 함수에 대해서는 존재하지 않기 때문에 를 구성하는 원소가 항상 에 속한다는 식으로 말할 수 없다.