지수 함수

연속적 성장continuous growth을 뜻하는 함수.

쉬운 설명

$e$를 $b\cdot e^{rt}$ 형태로 길게 풀어서 쓰면 좀 더 이해하기가 편하다.

• $b$는 원래의 크기base. 예를 들어 원래 100원을 가지고 있었으면 $b=100$.
• $r$은 성장률rate. $r$이 클수록 빠르게 성장한다는 뜻이므로 결과값은 더 커진다.
• $t$는 시간time. $t$가 클수록 오래 성장했다는 뜻이므로 결과값은 더 커진다.

실제 은행 예금과 달리 이자가 연속적으로 자라나는 가상의 은행이 있다고 가정해보자.

• 원금이 100원( $b=100$)이고 연이율이 10%( $r=0.1$)이며 3년 동안 예금을 해뒀으면( $t=3$) 예금액은 $100\times e^{0.1\times 3}\approx 134.98$ 이다. 연이율이 30%( $r=0.3$)이며 1년 동안 예금을 해뒀어도( $t=1$) 예금액은 $100\times e^{0.3\times 1}\approx 134.98$ 이다. 실제 은행 예금과 달리, 연속적 성장에서는 성장률과 시간이 등가이므로 연이율 10%인 3년 예금 이자와, 연이율 30%인 1년 예금 이자가 같다.
• $100\times e^0=100$인 이유, 즉 $e^0=1$인 이유는, 100원을 넣어두었는데 이율이 0%이거나( $r=0$), 시간이 흐르지 않았기( $t=0$) 때문이다.
• $100\times e^{-0.3}\approx 74$인 이유는? 연이율이 -10%인 채로 3년을 보낸 상황( $r=-0.1,t=3$)을 의미할 수도 있고, 연이율이 계속 10%였고 현재의 예금액이 100원이라면 3년 전에는 얼마였는지( $r=0.1,t=-3$)를 의미할 수도 있다. $r\cdot t$의 값이 아무리 작아져도 $e^{rt}$는 $0$에 한없이 다가갈 뿐, 결코 음수가 되지 않는다.