지수 함수

연속적 성장continuous growth을 뜻하는 함수.

쉬운 설명

$e$를 $b \cdot e^{rt}$ 형태로 길게 풀어서 쓰면 좀 더 이해하기가 편하다.

• $b$는 원래의 크기base. 예를 들어 원래 100원을 가지고 있었으면 $b=100$.
• $r$은 성장률rate. $r$이 클수록 빠르게 성장한다는 뜻이므로 결과값은 더 커진다.
• $t$는 시간time. $t$가 클수록 오래 성장했다는 뜻이므로 결과값은 더 커진다.

실제 은행 예금과 달리 이자가 연속적으로 자라나는 가상의 은행이 있다고 가정해보자.

• 원금이 100원($b=100$)이고 연이율이 10%($r=0.1$)이며 3년 동안 예금을 해뒀으면($t=3$) 예금액은 $100 \times e^{0.1 \times 3} \approx 134.98$ 이다. 연이율이 30%($r=0.3$)이며 1년 동안 예금을 해뒀어도($t=1$) 예금액은 $100 \times e^{0.3 \times 1} \approx 134.98$ 이다. 실제 은행 예금과 달리, 연속적 성장에서는 성장률과 시간이 등가이므로 연이율 10%인 3년 예금 이자와, 연이율 30%인 1년 예금 이자가 같다.
• $100 \times e^0 = 100$인 이유, 즉 $e^0=1$인 이유는, 100원을 넣어두었는데 이율이 0%이거나($r=0$), 시간이 흐르지 않았기($t=0$) 때문이다.
• $100 \times e^{-0.3} \approx 74$인 이유는? 연이율이 -10%인 채로 3년을 보낸 상황($r=-0.1, t=3$)을 의미할 수도 있고, 연이율이 계속 10%였고 현재의 예금액이 100원이라면 3년 전에는 얼마였는지($r = 0.1, t=-3$)를 의미할 수도 있다. $r \cdot t$의 값이 아무리 작아져도 $e^{rt}$는 $0$에 한없이 다가갈 뿐, 결코 음수가 되지 않는다.